検査を受けることは勤務先にも伝えておいた方がいいのでしょうか？

まだ病状がハッキリしていない段階で「がんの検査」を口にすることは、職場で根拠のない噂が流れたり、余計な心配をかけることにもなりますので、知らせない方が賢明かと思います。

診断が下ってからは、休職を願い出たり、補償制度を利用する上でも勤務先に伝える必要が生じますので、診断後の早い時期に、まず信頼のおける上司などに相談されるのがよいでしょう。